Родился в 1919 г. в с. Гадалей Тулунского района. После окончания школы работал учеником наборщика-печатника в типографии газеты «За большевистские колхозы», а с 1934 г. — наборщиком в типографии газеты Черновских копей. Учился в Читинском аэроклубе. В Советской Армии с 1938 г. На фронтах Великой Отечественной войны с июня 1941 г. Воевал на Карельском, Волховском, Ленинградском, Сталинградском, Северо-Кавказском, Воронежском, 1-м Украинском фронтах. К концу августа 1943 г. Алексей Андреевич Мурашов совершил 328 боевых вылетов, участвовал в 69 воздушных боях. За успешные боевые действия против фашистских захватчиков летчику-истребителю Мурашову 28 сентября 1943 г. было присвоено звание Героя Советского Союза.
После войны занимал ряд командных постов авиации, работал в экспериментальном цехе завода шахтной автоматики г. Днепропетровска. Награжден: 2 орденами Ленина, 3 орденами Красного Знамени, орденом Александра Невского 1-й степени, Красной Звезды, иностранными наградами, медалями.